Concours ENSA 2023 | Q09
Une fonction mystérieuse… et sa dérivée
On considère une fonction dérivable
f: R dans R vérifiant f(X+Y)(1−f(X)f(Y))=f(X)+f(Y) pour tout (X,Y) de R
En utilisant les propriétés de la fonction et sa dérivabilité, on peut déterminer une expression simple pour \frac{f^{\prime}(x)}{1+f(x)^2} en fonction de f^{\prime}(0)
Astuce clé : dérivation et manipulation fonctionnelle
Résultat élégant pour toute valeur de x
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Soit \(f\) une fonction
dérivable sur \(IR\) telle que:
\(\forall(x,y) \in IR^2\)f(x+y)(1-f(x)f(y))=f(x)+f(y)\) alors:
\(\forall x \in IR, \quad \frac{f^{\prime}(x)}{1+f(x)^2}=\)
\(\fbox{A}\) \(f^{\prime}(0)\)
\(\fbox{B}\) \(f^{\prime}(0)-1\)
\(\fbox{C}\) \(f^{\prime}(0)+\frac{1}{2}\)
\(\fbox{D}\) \(f^{\prime}(0)-\frac{1}{2}\)
La bonne réponse est A.
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que pour tous \(X, Y \in \mathbb{R}\),
\(f(X+Y)(1-f(X)f(Y))=f(X)+f(Y)\).
On cherche \(\frac{f'(x)}{1+f(x)^2}\).
On remarque que, d’après les réponses proposées, \(\frac{f'(x)}{1+f(x)^2}\) est une constante.
On peut donc prendre \(x=0\) pour calculer cette constante.
Calculons \(f(0)\).
En prenant \(z=0\) dans l’équation donnée, on obtient
\(f(x+0)(1-f(x)f(0)) = f(x) + f(0)\),
ce qui se simplifie en
\(f(x)(1-f(x)f(0)) = f(x) + f(0)\),
donc \(f(x) – f(x)^2 f(0) = f(x) + f(0)\),
ce qui donne \(-f(x)^2 f(0) – f(0) = 0\),
c’est-à-dire \(-f(0)(f(x)^2 + 1) = 0\).
Comme \(f(x)^2+1>0\), on a nécessairement \(f(0)=0\).
On en déduit que
\(\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} = \frac{f'(0)}{1+f(0)^2} = \frac{f'(0)}{1+0} = f'(0)\).