Concours ENSA 2023 | Q13
Somme des parties imaginaires d’une équation quadratique complexe
On considère l’équation complexe :z^2−4iz−4(1+i)=0
sont ses solutions, la somme des racines est donnée par la formule classique :
z1+z2=−b/a=4i
Ainsi, la somme des parties imaginaires est immédiatement :Im(z1)+Im(z2)=4.
Astuce clé : utiliser directement la relation somme des racines
Pas besoin de résoudre l’équation complètement
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions complexes de l’équation:
\(z^2-4 i z-4(1+i)=0\)
Alors: \(\operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2)\)
\(\fbox{A}\) 0
\(\fbox{B}\) 4
\(\fbox{C}\) 2
\(\fbox{D}\) 3
La bonne réponse est B.
On considère l’équation \( z^2-4iz-4(1+i)=0 \).
Si \( z_1 \) et \( z_2 \) sont ses solutions, alors la somme des racines vaut
\( z_1+z_2=-\frac{b}{a} \).
Ici \( a=1 \) et \( b=-4i \),
donc \( z_1+z_2=\frac{4i}{1}=4i \).
Ainsi
\( \operatorname{Im}(z_1+z_2)=\operatorname{Im}(4i)=4 \).
Or \( \operatorname{Im}(z_1+z_2)=\operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2) \).
Donc:
\( \operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2)=4 \).