Concours ENSA 2023 | Q15
Calcul d’une puissance complexe élevée : astuce rapide
On calcule (15+7i)/(7−15i)=−i
Élévation à la puissance :
(−i)^2023=(−i).((−i)2)^1011=(−i).(−1)^1011=i
Résultat final : ((15+7i)/(7−15i))^2023=i
Simplification en multipliant par le conjugué :
Astuce clé : utiliser le conjugué pour simplifier les fractions complexes
Puissances élevées : exploiter les identités (−i)^2=−1
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Le nombre complexe \((\frac{7-15 i}{15+7 i})^{2023}=\)
\(\fbox{A}\) \(i\)
\(\fbox{B}\) \(-i\)
\(\fbox{C}\) -1
\(\fbox{D}\) \(i+1\)
La bonne réponse est A.
On considère
\( z=\frac{7-15 i}{15+7 i} \).
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(15-7i\) :
\( z=\frac{(7-15i)(15-7i)}{15^2+7^2} \).
Au numérateur :
\( (7-15i)(15-7i)=105-49i-225i+105i^2=105-274i-105=-274i \).
Au dénominateur : \( 15^2+7^2=225+49=274 \).
Donc : \( z=\frac{-274i}{274}=-i \).
Ainsi : \( \left(\frac{7-15 i}{15+7 i}\right)^{2023}=(-i)^{2023} \).
Or :
\( (-i)^2=-1 \Rightarrow (-i)^{2023}=(-i)\times(-1)^{1011}=(-i)\times(-1)=i \).
Donc :
\( \left(\frac{7-15 i}{15+7 i}\right)^{2023}=i \).