Concours ENSA 2023 | Q10
Une intégrale qui se simplifie toute seule
On étudie l’intégrale \int_{\frac{1}{\alpha}}^\alpha \frac{\ln x}{1+x^2} dx
À première vue, elle peut paraître compliquée, mais une astuce de symétrie permet de conclure très simplement.
Résultat élégant et immédiat.
Astuce clé : symétrie dans l’intégrale
Calcul intelligent, pas de formule lourde
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Pour tout réel α\(\alpha>0;\)
\(\int_{\frac{1}{\alpha}}^\alpha \frac{\ln x}{1+x^2} \,dx=\)
\(\fbox{A}\) \(\ln \alpha\)
\(\fbox{B}\) \(2 \ln\alpha\)
\(\fbox{C}\) 0
\(\fbox{D}\) \(\alpha \frac{\pi}{2}\)
La bonne réponse est C.
On considère l’intégrale
\(I_\alpha=\int_{\frac{1}{\alpha}}^{\alpha} \frac{\ln x}{1+x^2}\,dx\).
On effectue le changement de variable \(x=\frac{1}{u}\).
On a alors \(dx=-\frac{1}{u^2}\,du\).
Lorsque \(x=\frac{1}{\alpha}\), on obtient \(u=\alpha\), et lorsque \(x=\alpha\), on obtient \(u=\frac{1}{\alpha}\).
En effectuant ce changement de variable, on obtient
\(I_\alpha=\int_{\alpha}^{\frac{1}{\alpha}} \frac{\ln(\frac{1}{u})}{1+\frac{1}{u^2}}\left(-\frac{1}{u^2}\right)\,du\).
Or \(\ln(\frac{1}{u})=-\ln u\) et \(1+\frac{1}{u^2}=\frac{1+u^2}{u^2}\).
L’intégrande devient alors
\(\frac{-\ln u}{\frac{1+u^2}{u^2}}\left(-\frac{1}{u^2}\right)=\frac{\ln u}{1+u^2}\).
On obtient donc
\(I_\alpha=\int_{\alpha}^{\frac{1}{\alpha}} \frac{\ln u}{1+u^2}\,du\).
En inversant les bornes, on a
\(I_\alpha=-\int_{\frac{1}{\alpha}}^{\alpha} \frac{\ln u}{1+u^2}\,du\).
Ainsi,
\(I_\alpha=-I_\alpha\),
d’où
\(2I_\alpha=0\).
On en déduit que
\(I_\alpha=0\).