Concours ENSA 2023 | Q14
Puissance élevée d’un nombre complexe : calcul rapide
On cherche (1+i)^2000
On utilise les identités classiques :
(1+i)^2=2i, donc (1+i)^2000=(2i)^1000
Ensuite: (1+i)^2000=4^500
Ainsi, le résultat est :
Astuce clé : factorisation par puissances et simplification des nombres complexes
Résolution rapide sans développer complètement
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
Le nombre complexe \((1+i)^{2000}=\)
\(\fbox{A}\) 1
\(\fbox{B}\) \(4^{1000}\)
\(\fbox{C}\) \(4^{500}\)
\(\fbox{D}\) \(4^{200}\)
La bonne réponse est C.
On considère le nombre complexe
\( (1+i)^{2000} \).
On sait que
\( (1+i)^2=1^2+2i+i^2=1+2i-1=2i \).
Donc
\( (1+i)^{2000}=[(1+i)^2]^{1000}=(2i)^{1000} \).
Or \( (2i)^2=-4 \),
ainsi
\( (2i)^{1000}=((-4))^{500} \).
Comme \( (-4)^{500}=4^{500} \),
on obtient \( (1+i)^{2000}=4^{500} \).