Concours ENSA 2023 | Q16
Somme des racines de l’unité : résultat immédiat
On étudie la somme
S= (1+e^iπ/5+e^i4π/5+e^i6π/5+e^i8π/5)^(1000)
En remarquant que 1=ei^0π/5 , on obtient : z=Segma k=0:k=4 de e^ikπ/5
Ces nombres sont exactement les racines 5-ièmes de l’unité.
Or, on sait que la somme de toutes les racines
n-ièmes de l’unité est nulle.
Ainsi : z = 0 z^1000 = 0
Résultat final : S=0
Astuce clé : reconnaître une somme de racines de l’unité
Aucun calcul lourd, uniquement une propriété fondamentale
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
La somme
\((1+e^{i\frac{2 \pi}{5}}+e^{i\frac{4 \pi}{5}}+e^{i\frac{6 \pi}{5}}+e^{i\frac{8 \pi}{5}})^{1000}=\)
\(\fbox{A}\) 0
\(\fbox{B}\) 1
\(\fbox{C}\) i
\(\fbox{D}\) \(- i\)
La bonne réponse est A.
On considère :
\( z=1+e^{i\frac{2\pi}{5}}+e^{i\frac{4\pi}{5}}+e^{i\frac{6\pi}{5}}+e^{i\frac{8\pi}{5}} \).
On remarque que : \( 1=e^{i\frac{0\pi}{5}} \).
Ainsi :
\( z=\sum_{k=0}^{4} e^{i\frac{2k\pi}{5}}=\sum_{k=0}^{4} e^{i\frac{2k\pi}{5}}= \frac{1-(e^{i\frac{2\pi}{5}})^5}{1-e^{i\frac{2\pi}{5}}} \)
or \( \cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1\)
Donc : \( z=0 \).