Concours ENSA 2023 | Q17
Équation différentielle linéaire : solution avec conditions initiales
On cherche la solution de l’équation différentielle linéaire y′′−7y′+12y=0
vérifiant les conditions initiales f(0)=0 et f′(0)=1.
L’équation caractéristique associée estr^2-7r+12=0,r2−7r+12=0,
qui admet deux racines réelles distinctes r=3 et r=4.
La solution générale s’écrit alors f(x)=\alpha e^{3x}+\beta e^{4x}.
En utilisant les conditions initiales, on obtient un système simple permettant de déterminer les constantes. On trouve finalement : f(x)=e^{4x}-e^{3x}.
Méthode clé : équation caractéristique
Exploitation directe des conditions initiales
Concours ENSA 2023 avec correction
QCM
La solution \(f(x)\) de l’équation différentielle
\(y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+12 y=0\) vérifiant \(f(0)=0, f^{\prime}(0)=1\) est:
\(\fbox{A}\) \(e ^{-4 x}- e ^{3 x}\)
\(\fbox{B}\) \(e ^{5 x}- e ^{3 x}\)
\(\fbox{C}\) \(e^{4 x}-e^{3 x}\)
\(\fbox{D}\) \(e^{5 x}-e^{4 x}\)
La bonne réponse est C
On a:
Equation caractéristique associée à l’équation différentielle
\(r^2-7 r+12=0\)
\(\Rightarrow \Delta=(-7)^2-4 \times 1 \times 12=49-48=1\)
d’où:
\(r_1=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3\)
\(r_2=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4\)
l’équation caractéristique admet deux solutions réelles différentes.
\(\Rightarrow y(x)=\alpha e^{3 x}+\beta e^{4x} \quad /(\alpha, \beta \in IR^2\)
Cherchon on a: \(\alpha\) et \(\beta\) avec:
\(f(x)=\alpha e^{3x}+\beta e^{4x}\)
\(f(0)=0\) et \(f^{\prime}(0)=1\)
\(f(0)=0 \Rightarrow \alpha e^{0}+\beta e^{0}=0\)
\(\Rightarrow \alpha +\beta=0\) ①
\(f^{\prime}(0)=3\alpha e^{0}+4 \beta e^{0}=1\)
\(\Rightarrow 3\alpha+4 \beta=1\) ②
① \(\Rightarrow \alpha =-\beta\)
② \(\Rightarrow -3\beta+4 \beta=1\)
\(\Rightarrow \beta =1\) et \(\Rightarrow \alpha =-1\)
Donc: \(f(x)= -e^{3x}+ e^{4x}\)