Concours Médecine 2020 | Q61
Quand la forme exponentielle simplifie tout
On considère un nombre complexe de module \(\sqrt{2}\) et d’argument \(\frac{\pi}{3}\)
En utilisant la forme exponentielle, le calcul de \(z^8\) devient immédiat et très élégant.
Sans passer par des développements inutiles, on exploite les propriétés des modules et des arguments pour obtenir le résultat exact.
Astuce clé :
puissance d’un nombre complexe
Raisonnement propre et efficace
QCM
Si \(z\) est le nombre complexe de module \(\sqrt{2}\) et d’argument \(\frac{\pi}{3}\), alors \(z^8\) est égal à:
\(\fbox{A}\) \(8+i8 \sqrt{3}\)
\(\fbox{B}\) \(-8+i8 \sqrt{3}\)
\(\fbox{C}\) \(-8-i 8 \sqrt{3}\)
\(\fbox{D}\) \(8-i8 \sqrt{3}\)
\(\fbox{E}\) \(4+i4 \sqrt{3}\)
La bonne réponse est B.
On considère le nombre complexe \(z\) de module \(\sqrt{2}\) et d’argument \(\frac{\pi}{3}\).
On cherche la valeur de \(z^8\).
On écrit \(z\) sous forme exponentielle :
\(z=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{3}}\).
On élève à la puissance \(8\) :
\(z^8=(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{3}})^8=(\sqrt{2})^8 e^{i\frac{8\pi}{3}}\).
On a \((\sqrt{2})^8=2^4=16\)
et \(\frac{8\pi}{3}=2\pi+\frac{2\pi}{3}\),
donc
\(e^{i\frac{8\pi}{3}}=e^{i2\pi}e^{i\frac{2\pi}{3}}=e^{i\frac{2\pi}{3}}\).
Ainsi,
\(z^8=16e^{i\frac{2\pi}{3}}\).
On repasse sous forme trigonométrique :
\(e^{i\frac{2\pi}{3}}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\).
Or
\(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) et \(\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
On obtient donc
\(z^8=16\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-8+8\sqrt{3}i\).