Concours Médecine 2020 | Q62
Une identité trigonométrique qu’il faut reconnaître
On cherche à exprimer \(cos^3(θ)\) en fonction de cosθ et cos3θ.
Plutôt que de développer directement, on utilise une identité trigonométrique classique issue de la formule de cos(3θ).
Cette approche permet de linéariser l’expression et d’identifier immédiatement la bonne réponse.
Idée clé :
formule de l’angle triple
Linéarisation sans calcul inutile
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Si \(\theta\) est un nombre réel, alors \(\cos ^3 \theta\) est égal à:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{8}(\cos 3 \theta+3 \cos \theta)\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1}{4}(\cos 3 \theta+3 \cos \theta)\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{1}{4}(\sin 3 \theta+3 \sin \theta)\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{1}{8}(3 \cos \theta-\cos 3 \theta)\)
\(\fbox{E}\) \(\frac{1}{8}(\sin 3 \theta+3 \sin \theta)\)
On cherche à exprimer \(\cos^3\theta\) en fonction de \(\cos\theta\) et de \(\cos(3\theta)\).
On part de la formule d’addition :
\(\cos(3\theta)=\cos(2\theta+\theta)=\cos(2\theta)\cos\theta-\sin(2\theta)\sin\theta\).
On utilise les formules usuelles :
\(\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta) et (\cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta\).
On obtient alors
\(\cos(3\theta)=\cos\theta(\cos(2\theta)-2\sin^2\theta)\).
Or \(2\sin^2\theta=1-\cos(2\theta)\), donc
\(\cos(3\theta)=\cos\theta(2\cos(2\theta)-1)\).
On remplace \(\cos(2\theta)) par (2\cos^2\theta-1\) :
\(\cos(3\theta)=\cos\theta(2(2\cos^2\theta-1)-1)\).
Cela donne
\(\cos(3\theta)=\cos\theta(4\cos^2\theta-3)\).
On en déduit
\(\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta\).
En isolant \(\cos^3\theta\), on obtient
\(\cos^3\theta=\frac{1}{4}(\cos 3\theta+3\cos\theta)\).
La bonne réponse est B.