Concours Médecine 2020 | Q64
Une fonction, deux contraintes à ne pas confondre
On cherche le domaine de définition de la fonction :
\(f(x)= \frac{1}{x-1} \ln (1+\frac{1}{x})\)
Deux éléments imposent des conditions distinctes : le dénominateur et le logarithme.
En analysant séparément ces contraintes, puis en les combinant correctement, on obtient le domaine exact sans ambiguïté.
Méthode claire et structurée
Attention aux pièges classiques
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par:
\(f(x)=\frac{1}{x-1} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\) est:
\(\fbox{A}\) \(]-∞,-1[\cup]0,+∞[\)
\(\fbox{B}\) \(]-1,1[\cup]1,+∞[\)
\(\fbox{C}\) \(]-∞,-1[\cup] 1,+∞[\)
\(\fbox{D}\) \(]-∞,-1[\cup] 0,1[\cup]1,+∞[\)
\(\fbox{E}\) \(]-1,1[\)
La bonne réponse est D.
On considère la fonction
(f(x)=\frac{1}{x-1}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)).
On cherche son domaine de définition.
On commence par étudier séparément les deux expressions.
Pour la fonction (x\mapsto \frac{1}{x-1}), il faut que le dénominateur soit non nul.
On doit donc avoir (x-1\neq 0), soit (x\neq 1).
Ainsi,
(D_1=]-\infty,1[\cup]1,+\infty[).
Pour la fonction (x\mapsto \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)), l’argument du logarithme doit être strictement positif.
On impose
(1+\frac{1}{x}>0),
ce qui équivaut à
(\frac{x+1}{x}>0).
Cette inégalité est vérifiée lorsque le numérateur et le dénominateur ont le même signe, ce qui donne
(x>0) ou (x<-1).
Ainsi,
(D_2=]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[).
Le domaine de définition de (f) est l’intersection de ces deux domaines :
(D_f=D_1\cap D_2).
On obtient alors
(D_f=]-\infty,-1[\cup]0,1[\cup]1,+\infty[).