Concours Médecine 2020 | Q65
Une dérivée simple… si on applique la bonne règle
On considère la fonction \(f(x)=(x^2-x) e^{\frac{1}{x}}\)
Le calcul de la dérivée repose uniquement sur la règle du produit et une dérivation propre de l’exponentielle composée. En procédant méthodiquement, l’expression se simplifie naturellement et permet d’identifier la bonne réponse sans hésitation.
Règle du produit bien utilisée
Calcul structuré et propre
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Si \(f(x)=(x^2-x) e^{\frac{1}{x}}\) alors \(f^{\prime}(x)\) est égale à:
\(\fbox{A}\) \((2 x-1) e^{\frac{1}{x}}\)
\(\fbox{B}\) \((1-\frac{1}{x}) e^{\frac{1}{x}}\)
\(\fbox{C}\) \((\frac{1}{x}-1) e^{\frac{1}{x}}\)
\(\fbox{D}\)\((2 x-2+\frac{1}{x}) e^{\frac{1}{x}}\)
\(\fbox{E}\) \((2 x-\frac{1}{x}) e^{\frac{1}{x}}\)
La bonne réponse est D.
On considère la fonction
\(f(x)=(x^2-x)e^{\frac{1}{x}}\).
On dérive \(f\) en utilisant la règle du produit.
On a
\(f'(x)=(x^2-x)’e^{\frac{1}{x}}+(x^2-x)(e^{\frac{1}{x}})’\).
On calcule séparément les dérivées.
On a \((x^2-x)’=2x-1\)
et \((e^{\frac{1}{x}})’=(\frac{1}{x})’e^{\frac{1}{x}}=-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}\).
On obtient alors
\(f'(x)=(2x-1)e^{\frac{1}{x}}+(x^2-x)\left(-\frac{1}{x^2}\right)e^{\frac{1}{x}}\).
On factorise par \(e^{\frac{1}{x}}\) :
\(f'(x)=\left(2x-1-\frac{x^2-x}{x^2}\right)e^{\frac{1}{x}}\).
Or \(\frac{x^2-x}{x^2}=1-\frac{1}{x}\).
Ainsi,
\(f'(x)=(2x-1-1+\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}=(2x-2+\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}\).