Concours Médecine 2020 | Q66
Deux arguments, un seul point
On cherche un nombre complexe z connaissant les arguments de z−1 et de z+1.
Plutôt que d’utiliser des calculs lourds, on traduit chaque condition d’argument en une relation géométrique simple dans le plan complexe.
L’intersection de ces deux contraintes permet d’identifier immédiatement le point recherché.
Lecture géométrique des arguments
Raisonnement clair et structuré
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Si \(z\) est un nombre complexe tel que :
\(\arg (z-1) \equiv \frac{2 \pi}{3}[2 \pi]\) et \(\arg (z+1) \equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi]\)
alors \(z\) est égal à:
\(\fbox{A}\) \(\sqrt{3} i\)
\(\fbox{B}\) \(2\sqrt{3} i\)
\(\fbox{C}\) \(-\sqrt{3} i\)
\(\fbox{D}\) \(-2\sqrt{3} i\)
\(\fbox{E}\) \(1+\sqrt{3} i\)
La bonne réponse est A.
On cherche le nombre complexe \(z\) tel que
\(\arg(z-1)\equiv \frac{2\pi}{3}[2\pi]\) et \(\arg(z+1)\equiv \frac{\pi}{3}[2\pi]\).
On pose \(z=x+iy\) avec \(x,y\in\mathbb{R}\).
On commence par la condition sur \(z-1\).
On a
\(z-1=(x-1)+iy\) et son argument vaut \(\frac{2\pi}{3}\).
Ainsi,
\(\tan\frac{2\pi}{3}=\frac{y}{x-1}\).
Or \(\tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}\), donc
\(y=-\sqrt{3}(x-1)\).
On utilise maintenant la condition sur \(z+1\).
On a
\(z+1=(x+1)+iy\) et son argument vaut \(\frac{\pi}{3}\).
Ainsi,
\(\tan\frac{\pi}{3}=\frac{y}{x+1}\).
Or \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\), donc
\(y=\sqrt{3}(x+1)\).
On égalise les deux expressions de \(y\) :
\(-\sqrt{3}(x-1)=\sqrt{3}(x+1)\).
On obtient
\(-\sqrt{3}x+\sqrt{3}=\sqrt{3}x+\sqrt{3}\),
d’où
\(2\sqrt{3}x=0\) et donc \(x=0\).
En remplaçant dans \(y=\sqrt{3}(x+1)\), on obtient
\(y=\sqrt{3}\).
Ainsi,
\(z=x+iy=i\sqrt{3}\).