Concours Médecine 2020 | Q68
Une limite classique qui mène à une exponentielle
On étudie la limite de \lim _{n \rightarrow+∞}(\frac{n-1}{n+1})^{2n} lorsque n tend vers +∞.
En passant par le logarithme et en utilisant une approximation classique, l’expression se transforme naturellement en une forme exponentielle.
Le calcul devient alors direct et conduit à une valeur exacte.Passage au logarithme
Utilisation d’une limite fondamentale
QCM
On a \(\lim _{n \rightarrow+∞}(\frac{n-1}{n+1})^{2n}\) est égale à:
\(\fbox{A}\) \(0\)
\(\fbox{B}\) \(e^{-4}\)
\(\fbox{C}\) \(e^4\)
\(\fbox{D}\) \(e\)
\(\fbox{E}\) \(1\)
La bonne réponse est B.
On cherche la limite de
\(\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
On commence par réécrire la fraction.
On a
\(\frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}\).
On pose alors
\(I_n=\left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{2n}\).
On utilise l’écriture exponentielle :
\(I_n=\exp\left(2n\ln\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\right)\).
On met le terme sous une forme exploitable :
\(2n\ln\left(1-\frac{2}{n+1}\right)
=2n\left(-\frac{2}{n+1}\right)
\left(\frac{\ln\left(1-\frac{2}{n+1}\right)}{-\frac{2}{n+1}}\right)\).
On obtient alors
\(I_n=\exp\left(-4\frac{n}{n+1}
\cdot
\frac{\ln\left(1-\frac{2}{n+1}\right)}{-\frac{2}{n+1}}\right)\).
Lorsque \(n\to+\infty\), on a \(\frac{n}{n+1}\to 1\).
De plus, en posant \(x=-\frac{2}{n+1}\),
on a \(x\to 0\) et
\(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\).
Ainsi,
\(\frac{\ln\left(1-\frac{2}{n+1}\right)}{-\frac{2}{n+1}}\to 1\).
On en déduit que
\(\lim_{n\to+\infty} I_n=e^{-4}\).
Donc,
\(\lim _{n \rightarrow+∞}(\frac{n-1}{n+1})^{2n}=e^{-4}\)
La bonne réponse est B.