Concours Médecine 2020 | Q69
Un produit de suite géométrique sans calcul lourd
On considère une suite géométrique de premier terme u1=2 et de raison q=1/3
L’objectif est de déterminer une expression simple du produit u1×u2×..×un
En écrivant correctement le terme général et en organisant les puissances, le produit se simplifie naturellement et conduit à une formule fermée élégante.
Organisation des puissances
Raisonnement clair et structuré
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Si \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{IN}^*}\) une suite géométrique
de premier terme \(u_1=2\) et de raison \(q=\frac{1}{3}\)
alors le produit \(u_1 \times u_2 \times \ldots \times u_n \)\( (n \geq 1)\) est égal a:
\(\fbox{A}\) \(2^n \times 3^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{2^n}{3^{\frac{n(n+1)}{2}}}\)
\(\fbox{D}\) \(2^n \times 3^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\fbox{E}\) \(\frac{1}{2^n \times 3^{\frac{n(n-1)}{2}}}\)
La bonne réponse est B.
On considère la suite géométrique \((u_n)\) de premier terme \(u_1=2\) et de raison \(q=\frac{1}{3}\).
On cherche le produit \(P_n=u_1\times u_2\times\cdots\times u_n\) pour \(n\geq 1\).
Le terme général de la suite est
\(u_k=u_1q^{k-1}=2\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}=2\cdot 3^{-(k-1)}\).
Le produit \(P_n\) s’écrit alors
\(P_n=\prod_{k=1}^n \left(2\cdot 3^{-(k-1)}\right)\).
On sépare les facteurs :
\(P_n=(2\times 2\times\cdots\times 2)\times(3^{-0}\times 3^{-1}\times\cdots\times 3^{-(n-1)})\).
On obtient
\(P_n=2^n\cdot 3^{-(0+1+\cdots+(n-1))}\).
Or
\(0+1+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}\).
Ainsi,
\(P_n=2^n\cdot 3^{-\frac{n(n-1)}{2}}=\frac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}\).