Concours Médecine 2020 | Q71
Une primitive qui se devine en un clin d’œil
On cherche la primitive de f(x)=\frac{2ln x}{x(1+(ln x)^2)} sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1.
En repérant que le numérateur est la dérivée de (ln x)^2+1, l’intégration devient immédiate et conduit à une expression simple et élégante.
Astuce clé : reconnaissance d’une dérivée composée
Primitive sans calcul long
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\frac{2 \ln x}{x(1+(\ln x)^2)}\)
La primitive de \(f\) sur \(]0,+∞[\) qui s’annule en 1 est:
\(\fbox{A}\) \(\ln ((\ln x)^2+1)\)
\(\fbox{B}\) \((\ln x)^2\)
\(\fbox{C}\) \(2\ln ((\ln x)^2+1)\)
\(\fbox{D}\) \(\frac{x \ln x}{\ln(x)+1}\)
\(\fbox{E}\) \(\frac{2\ln(x)}{(\ln x)^2+1}\)
On considère la fonction \(f(x) = \frac{2 \ln x}{x(1+(\ln x)^2)}\)
et on cherche une primitive \(F\) sur \(]0,+\infty[\) telle que \(F(1) = 0\).
On remarque que
\(f(x) = \frac{2 \ln x}{x(1+(\ln x)^2)} = \frac{2 \frac{1}{x} \ln x}{1+(\ln x)^2} = \frac{(1+(\ln x)^2)’}{1+(\ln x)^2}\).
Donc une primitive est \(F(x) = \ln(1+(\ln x)^2) + k\).
Comme \(F(1) = 0\), on a \(0 = F(1) = \ln(1+(\ln 1)^2) + k = \ln(1) + k = k\), donc \(k = 0\).
Ainsi, la primitive cherchée est \(F(x) = \ln(1+(\ln x)^2)\).
La bonne réponse est A.
