Concours Médecine 2020 | Q72
Cette intégrale cache une astuce très simple
On calcule l’intégrale \(\int_0^1 \frac{2 t+3}{t+2}~dt\)
En réécrivant astucieusement le numérateur, l’intégranel se décompose en une partie constante et une fraction simple.
L’intégration devient directe, donnant un résultat clair et élégant.
Astuce clé : fractionnement du numérateur
Calcul rapide et structuré
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
L’intégrale \(\int_0^1 \frac{2 t+3}{t+2}~dt\) est égale à:
\(\fbox{A}\) \(\ln \frac{3}{2}\)
\(\fbox{B}\) \(2+\ln \frac{3}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(2-\ln \frac{2}{3}\)
\(\fbox{D}\) \(2+\ln \frac{2}{3}\)
\(\fbox{E}\) \(\ln \frac{2}{3}\)
La bonne réponse est D.
On cherche \(\int_0^1 \frac{2 t+3}{t+2} \, dt\).
On simplifie le numérateur : \
(\frac{2t+3}{t+2} = \frac{2t+4-1}{t+2} = \frac{2(t+2)}{t+2} – \frac{1}{t+2} = 2 – \frac{1}{t+2}\).
Ainsi, l’intégrale devient
\(\int_0^1 2 – \frac{1}{t+2} \, dt = \int_0^1 2\, dt – \int_0^1 \frac{1}{t+2} \, dt\).
On calcule chaque partie :
\(\int_0^1 2\, dt = [2t]_0^1 = 2\), et \(\int_0^1 \frac{1}{t+2} \, dt = [\ln(t+2)]_0^1 = \ln 3 – \ln 2\).
Donc l’intégrale vaut
\(2 – (\ln 3 – \ln 2) = 2 – \ln 3 + \ln 2 = 2 + \ln \frac{2}{3}\).