La bonne réponse est C.
Soit \(w_{n+1}=f(w_n)\) avec \(f(x)=(x-1)^2+1\) et \(w_0=\frac{1}{2}\).
On suppose que la suite \((w_n)\) converge.
Comme \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^+\) et que \(\mathbb{R}^+\) est stable par \(f\), la limite \(l=\lim_{n\to+\infty} w_n\) existe et satisfait \(f(l)=l\).
Résolvons \(f(l)=l\) :
\(l = (l-1)^2+1 \Rightarrow l-1-(l-1)^2=0 \Rightarrow (l-1)(1-(l-1))=0\).
Donc \(l=1\) ou \(l=2\).
Pour déterminer la limite, on étudie la suite \((w_n)\).
La suite est bornée. On peut le montrer par récurrence :
Pour \(n=0\), \(w_0=\frac{1}{2}\) et \(w_1=(w_0-1)^2+1=\frac{5}{4}\).
Supposons que \(1\le w_n \le 2\). Comme \(f'(x)=2(x-1)\ge 0\) pour \(x\ge 1\), \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\), donc
\(f(1)\le f(w_n)\le f(2) \Rightarrow 1\le w_{n+1}\le 2\).
Ainsi \((\forall n\ge 1) \; \).
Étudions maintenant la monotonie :
\(w_{n+1}-w_n = (w_n-1)^2+1 – w_n = (w_n-1)(w_n-2)\).
Pour \(1\le w_n \le 2\), on a \((w_n-1)(w_n-2) \le 0\).
Donc la suite \((w_n)\) est décroissante.
Comme la suite est décroissante et \(w_1=\frac{5}{4}\),
on a \(\lim_{n\to+\infty} w_n \le \frac{5}{4} < 2\).
Donc la limite est \(l=1\).