Concours Médecine 2020 | Q78
Une intégrale qui se résout par un jeu d’équilibre
On calcule l’intégrale \int_0^1 \sin (x) e^x dx
La méthode repose sur une double intégration par parties.
En réintroduisant l’intégrale initiale après le second calcul, on obtient une équation simple qui permet de conclure immédiatement.
Astuce clé : réapparition de l’intégrale
Méthode élégante et structurée
Résultat exact sans approximation
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
L’intégrale \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (x) e^x dx\) est égale à:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{e+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
\(\fbox{C}\) \(\frac{1-e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
\(\fbox{D}\) \(1+e^{\frac{\pi}{2}}\)
\(\fbox{E}\) \(1-e^{\frac{\pi}{2}}\)
La bonne réponse est A.
On considère l’intégrale
\( I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)e^x\,dx \).
On applique l’intégration par parties.
On pose
\( u=\sin x \) et \( v’=e^x \),
donc
\( u’=\cos x \) et \( v=e^x \).
Alors
\( I=[\sin x\,e^x]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,e^x\,dx \).
On calcule le terme de bord :
\( [\sin x\,e^x]_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin\frac{\pi}{2}e^{\frac{\pi}{2}}-\sin 0\cdot e^0=e^{\frac{\pi}{2}} \).
Donc
\( I=e^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,e^x\,dx \).
On applique encore l’intégration par parties sur
\( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,e^x\,dx \).
On pose
\( u=\cos x \) et \( v’=e^x \),
donc
\( u’=-\sin x \) et \( v=e^x \).
Ainsi
\( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,e^x\,dx=[\cos x\,e^x]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,e^x\,dx \).
On a
\( [\cos x\,e^x]_0^{\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}e^{\frac{\pi}{2}}-\cos 0\cdot e^0=-1 \).
Donc
\( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,e^x\,dx=-1+I \).
On remplace dans l’expression de \(I\) :
\( I=e^{\frac{\pi}{2}}-(-1+I)=1+e^{\frac{\pi}{2}}-I \).
Ainsi
\( 2I=1+e^{\frac{\pi}{2}} \)
Donc:
\( I=\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2} \).