Concours Médecine 2020 | Q79
Encadrer une dérivée sans calcul compliqué
On étudie la fonction f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}} et on cherche un encadrement de f′(x) sur [0,1].
Après dérivation, on obtient f′(x)=−xe^{-\frac{x^2}{2}}
L’étude du signe et de la dérivée seconde permet de montrer que f′ est décroissante sur [0,1], ce qui donne immédiatement l’encadrement recherché.
Astuce clé : monotonie de la dérivée
Utilisation simple de la dérivée seconde
Encadrement précis sans approximation
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
On considère la fonction f définie par : ∀ x∊IR
\((\forall x \in \mathbb{R}) f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\)
Un encadrement de \(f^{\prime}(x)\) sur l’intervalle \([0,1]\) est:
\(\fbox{A}\) \(0 \leq f^{\prime}(x) \leq \frac{1}{\sqrt{e}}\)
\(\fbox{B}\)\(-\frac{1}{\sqrt{e}} \leq f^{\prime}(x) \leq 0\)
\(\fbox{C}\) \(-\frac{1}{2} \leq f^{\prime}(x) \leq 0 \)
\(\fbox{D}\) \(0 \leq f^{\prime}(x) \leq \sqrt{e}\)
\(\fbox{E}\) \(-\frac{1}{\sqrt{e}} \leq f^{\prime}(x) \leq-\frac{1}{2}\)
La bonne réponse est B.
On considère la fonction
\( f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}} \).
On cherche un encadrement de \( f'(x) \) sur l’intervalle \( [0,1] \).
On calcule la dérivée :
\( f'(x)=(-\frac{x^2}{2})’ e^{-\frac{x^2}{2}}=-x e^{-\frac{x^2}{2}} \).
Donc
\( f'(x)=-x f(x) \).
Pour \( x\in[0,1] \), on a \( f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}>0 \)
et \( x\ge 0 \),
donc \( f'(x)\le 0 \).
Calculons la dérivée seconde :
\( f »(x)=(f'(x))’ \)
\( f »(x)=(-x f(x))’ \)
\( =-f(x)-x f'(x) \)
\( =-f(x)+x^2 f(x) \)
\( =(-1+x^2)f(x) \).
Pour \( x\in[0,1] \), on a \( 0\le x^2\le 1 \),
donc \( -1+x^2\le 0 \),
et comme \( f(x)>0 \),
on obtient \( f »(x)\le 0 \).
Ainsi, \( f’ \) est décroissante sur \( [0,1] \).
On en déduit que
\( f'(1)\le f'(x)\le f'(0) \).
On calcule : \( f'(0)=0 \)
et \( f'(1)=-1\times e^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{e}} \).
Donc, pour tout \( x\in[0,1] \),
\( -\frac{1}{\sqrt{e}} \le f'(x)\le 0 \).