Concours Médecine 2020 | Q80
Quand deux racines s’annulent à l’infini
On étudie la limite en +∞ de la fonction f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-a x\sqrt{x+b}
Après factorisation par x.Racine(x), l’existence d’une limite finie impose une première condition d’annulation du terme dominant, ce qui fixe la valeur de a.
Une étude plus fine à l’aide d’un développement asymptotique de Racine(x+1)
permet ensuite d’imposer une seconde condition sur b.
Astuce clé : factorisation et équivalents
Analyse du terme dominant à l’infini
Condition nécessaire et suffisante clairement identifiée
Conclusion : la limite est finie si et seulement si a=1 et b=2.
Concours Médecine 2020 avec correction
QCM
Soit \(f(x)=\sqrt{x^3+2 x^2+3}-a x \sqrt{x+b}\) avec \(a\) et \(b\) deux réels donnés.
\(f\) admet une limite finie en \(+∞\) si et seulement si:
\(\fbox{A}\) \(a>0\) et \(b>0\)
\(\fbox{B}\) \( a=1\) et \(b>0\)
\(\fbox{C}\) \( a=1\) et \(b=2\)
\(\fbox{D}\) \(a=1\) et \(b=0\)
\(\fbox{E}\) \( a>0\) et \(b=0\)
La bonne réponse est C .
On considère la fonction
\( f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-a x\sqrt{x+b} \),
où \( a \) et \( b \) sont deux réels.
On cherche les conditions pour que \( f \) admette une limite finie lorsque \( x\to +\infty \).
On écrit :
\( \lim_{x\to+\infty} f(x)
= \lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^3(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^3})}
– a x\sqrt{x (1+\frac{b}{x})} \).
On factorise par \( x\sqrt{x} \) :
\( \lim_{x\to+\infty} f(x)
= \lim_{x\to+\infty} x\sqrt{x}
\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^3}}
– a\sqrt{1+\frac{b}{x}}\right) \).
On sait que
\( \lim_{x\to+\infty} \sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^3}}=1 \)
et \( \lim_{x\to+\infty} \sqrt{1+\frac{b}{x}}=1 \),
donc \( \lim_{x\to+\infty}
(\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^3}}
– a\sqrt{1+\frac{b}{x}})=1-a \).
Or
\( \lim_{x\to+\infty} x\sqrt{x}=+\infty \).
Pour que \( f(x) \) admette une limite finie, il faut nécessairement que
\( 1-a=0 \),
donc \( a=1 \).
On suppose maintenant \( a=1 \).
Alors \( \lim_{x\to+\infty} f(x)
= \lim_{x\to+\infty} x\sqrt{x}
(\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^3}}
– \sqrt{1+\frac{b}{x}}) \).
En utilisant l’équivalence
\( \sqrt{1+X}\sim 1+\frac{X}{2} \) lorsque \( X\to 0 \),
on obtient :
\( \sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^3}}
\sim 1+\frac{1}{x}+\frac{3}{2x^3} \)
et \( \sqrt{1+\frac{b}{x}}\sim 1+\frac{b}{2x} \).
Ainsi,
\( f(x)\sim x\sqrt{x}
(\frac{1}{x}+\frac{3}{2x^3}-\frac{b}{2x}) \)
\( = \frac{3}{2x\sqrt{x}}+\frac{2-b}{2}\sqrt{x} \).
Lorsque \( x\to+\infty \),
\( \frac{3}{2x\sqrt{x}}\to 0 \)
et \( \sqrt{x}\to +\infty \).
Pour que la limite soit finie, il faut
\( 2-b=0 \),
donc \( b=2 \).
Ainsi, \( f \) admet une limite finie en \( +\infty \)
si et seulement si \( a=1 \) et \( b=2 \).