Concours Médecine 2021 | Q63
Puissance 2021 d’un nombre complexe : l’astuce qui résout tout en 10 secondes !
Un excellent exercice pour comprendre qu’en mathématiques, une bonne observation vaut souvent mieux qu’un long calcul.
Dans ce QCM, vous apprendrez :
À reconnaître rapidement une simplification cachée ;
À utiliser les cycles des puissances de i ;
À gagner un temps précieux dans les QCM de concours.
QCM
Le nombre complexe \((\frac{7-15 i}{15+7 i})^{2021}\) est égal à:
\(\fbox{A}\) \( i\)
\(\fbox{B}\) \(-1\)
\(\fbox{C}\) \(7-15i \)
\(\fbox{D}\) \(-i\)
\(\fbox{E}\) \(7+15i\)
La bonne réponse est D.
On calcule
\( a=\dfrac{7-15i}{15+7i} \).
On remarque que
\( 7-15i = -i(15+7i) \).
Donc
\( a=\dfrac{-i(15+7i)}{15+7i}=-i \).
On en déduit
\( b=(\dfrac{7-15i}{15+7i})^{2021}=(-i)^{2021} \).
Or
\( (-i)^{2021}=-(i^{2020}\times i) \).
Comme
\( i^{2020}=(i^4)^{505}=1 \),
on obtient donc:
\( b=-i \).