Concours Médecine 2021 | Q64
Cette somme infinie se calcule en 15 secondes ! | QCM ENSA
Un exercice très classique sur les suites et les sommes géométriques, mais qui peut surprendre dans un QCM si l’on ne reconnaît pas immédiatement la structure de la somme.
vous allez revoir :les suites géométriques ;
la formule de la somme des termes d’une suite géométrique ;
les limites de puissances ;
les techniques rapides pour les QCM de concours.
QCM
Si (x \in]0,1[), alors (\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1-x+x^2-x^3+\ldots \ldots \ldots+(-1)^n x^n\right)) est égale à:
\(\fbox{A}\) \(\frac{1}{x-1}\)
\(\fbox{B}\) \(\frac{1}{1-x}\)
\(\fbox{C}\) 1
\(\fbox{D}\) \(\frac{-1}{1+x}\)
\(\fbox{E}\) \(\frac{1}{1+x}\)
La bonne réponse est E.
Soit \( x \in ]0,1[ \).
On considère la somme \( S_n = 1 – x + x^2 – \cdots + (-1)^n x^n \).
On écrit \( S_n = (-x)^0 + (-x)^1 + \cdots + (-x)^n \).
C’est une somme géométrique de raison \( -x \).
Donc \( S_n = \dfrac{1-(-x)^{n+1}}{1+x} \).
Comme \( |-x|<1 \), on a \( \lim_{n\to+\infty} (-x)^{n+1}=0 \).
Donc: \( \lim_{n\to+\infty} S_n = \dfrac{1}{1+x} \).