Concours Médecine 2021 | Q67
Cette limite n’existe pas… et pourtant beaucoup répondent 1!
Un exercice simple en apparence, mais qui rappelle une règle fondamentale : pour qu’une limite existe en un point, les limites à gauche et à droite doivent être égales.
Une question idéale pour tester sa rigueur et éviter les conclusions trop rapides le jour du concours.Dans cette vidéo, vous allez revoir :
l’étude des limites à droite et à gauche ;
les racines carrées et les valeurs absolues cachées ;
les pièges fréquents dans les QCM de concours.
QCM
Si \(f\) est la fonction définie sur \(\mathbf{IR}^*\) par \(f(x)=\frac{\sqrt{\ln(1+x^2)}}{x}\) alors:
\(\fbox{A}\) \(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1\)
\(\fbox{B}\) \(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-1\)
\(\fbox{C}\) \(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\frac{1}{2}\)
\(\fbox{D}\) \(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0\)
\(\fbox{E}\) La fonction \(f\) n’admet pas de limite en 0
La bonne réponse est E.
On cherche la limite de la fonction f en \( 0 \).
Calculons d’abord la limite à droite.
On a
\( f_d(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{\ln(1+x^2)}}{x} \).
On écrit
\( f_d(0)=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}} \).
On sait que
\( \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 \).
En posant \( t=x^2 \), on obtient
\( \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}=1 \).
Ainsi,
\( f_d(0)=\sqrt{1}=1 \).
Calculons maintenant la limite à gauche.
On a
\( f_g(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{\ln(1+x^2)}}{x} \).
Comme \( x<0 \), on peut écrire
\( f_g(0)=\lim_{x\to 0^-}-\sqrt{\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}} \).
En utilisant le même résultat de limite, on obtient
\( f_g(0)=-\sqrt{1}=-1 \).
Conclusion :
\( f_d(0)\neq f_g(0) \).
Donc:
la fonction \( f \) n’admet pas de limite en \( 0 \).