La bonne réponse est A.

On cherche l’écriture exponentielle du nombre complexe
\( z=1+i(1+\sqrt{2}) \).
On écrit \( z=(1+i)+\sqrt{2}i \).
On pose \( a=1+i \) et \( b=\sqrt{2}i \).
Calculons l’écriture exponentielle de \( a \).
On a
\( |a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \) et \( \arg(a)=\frac{\pi}{4} \).
Donc \( a=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \).
Calculons maintenant l’écriture exponentielle de \( b \).
On a \( |b|=\sqrt{2} \) et \( \arg(b)=\frac{\pi}{2} \).
Ainsi,
\( b=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}} \).
On obtient alors
\( z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}+\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{2}} \).
On factorise par \( \sqrt{2} \) :
\( z=\sqrt{2}(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{i\frac{\pi}{2}}) \).
On écrit
\( e^{i\frac{\pi}{4}}=e^{i\frac{3\pi}{8}}e^{-i\frac{\pi}{8}} \)
et
\( e^{i\frac{\pi}{2}}=e^{i\frac{3\pi}{8}}e^{i\frac{\pi}{8}} \).
Ainsi,
\( z=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{8}}(e^{-i\frac{\pi}{8}}+e^{i\frac{\pi}{8}}) \).
Or
\( e^{-i\theta}+e^{i\theta}=2\cos(\frac{\pi}{8}}) \).
Donc
\( z=2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{8})e^{i\frac{3\pi}{8}} \).
Comme
\( \frac{\pi}{8}\in [0,\frac{\pi}{2}[ \), on a
\( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)>0 \).
Ainsi,
\( |z|=2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{8}) \).