Concours Médecine 2021 | Q72
Une intégrale toute simple… et pourtant un piège classique !
Un exercice court mais très instructif, qui montre qu’identifier la bonne structure est souvent bien plus important que de faire de longs calculs.
vous allez revoir :
Les primitives de la forme (g(x),g'(x));
La reconnaissance d’une dérivée cachée;
La formule de la différence de deux carrés;
Les calculs rapides dans les QCM;
Les astuces qui permettent d’éviter des développements inutiles.
QCM
Si \(\int_1^2 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) d x=8\) et \(f^{\prime}(2)-f^{\prime}(1)=2\) alors \(f^{\prime}(2)+f^{\prime}(1)\) est égal à:
\(\fbox{A}\) 4
\(\fbox{B}\) 6
\(\fbox{C}\) 8
\(\fbox{D}\) 10
\(\fbox{E}\) 12
La bonne réponse est C.
On sait que, pour toute fonction \( g \) dérivable,
\( \int g'(x)\,g(x)\,dx = \frac{1}{2}g^2(x) \).
On applique ce résultat à la fonction
\( g(x)=f'(x) \).
On obtient alors
\( \int f »(x)\,f'(x)\,dx = \frac{1}{2}(f'(x))^2 \).
On nous donne
\( \int_1^2 f'(x)\,f »(x)\,dx = 8 \).
Donc
\( [\frac{1}{2}(f'(x))^2]_1^2 = 8 \).
Ainsi,
\( \frac{1}{2}((f'(2))^2-(f'(1))^2)=8 \).
On factorise la différence de deux carrés :
\( \frac{1}{2}(f'(2)-f'(1))(f'(2)+f'(1))=8 \).
Or on sait que
\( f'(2)-f'(1)=2 \).
Donc
\( \frac{1}{2}\times 2 \times (f'(2)+f'(1))=8 \).
On en déduit que
\( f'(2)+f'(1)=8 \).